# 算法

## 算法思想

### 穷举算法思想

穷举算法（ExhaustiveAttackmethod)是最简单的一种算法，其依赖于计算机的强大计算能力来穷尽每一种可能的情况，从而达到求解问题的目的。穷举算法效率并不高，但是适应于一些没有明显规律可循的场合。

#### 基本算法思想

穷举算法的基本思想就是从所有可能的情况中搜索正确的答案，其执行步骤如下：

1. 对于一种可能的情况，计算其结果。
2. 判断结果是否满足要求，如果不满足则执行第（1 ) 步来搜索下一个可能的情况；如果满足要求，则表示寻找到一个正确的答案。

> 注意：在使用穷举算法时，需要明确问题的答案的范围，这样才可以在指定范围内搜索答案。指定范围之后，就可以使用循环语句和条件判断语句逐步验证候选答案的正确性，从而得到需要的正确答案。

#### 经典例子

《孙子算经》【鸡兔同笼问题】
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
（在一个笼子里关着若干只鸡和若干只兔，从上面数共有 35 个头；从下面数共有 94 只脚。问笼中鸡和兔的数量各是多少？）

```
int chickenRabbit(int head,int foot,int *c,int r){
int i,j;
int tag=0;//标志是否有解
for(i=0;i<=head;i++){//鸡的个数穷举
    j=head-i;//兔子的个数
    if(i2+j*4==foot){//判断是否满足条件
        tag=1;
        *c=i;
        *r=j;
    }
}
return tag;
}
int main()
{
   int c,r;
    if(chickenRabbit(35,94,&c,&r)==1){//如果有解输出
        printf("chickens=%d,rabbits=%d\n",c,r);
    }else{//如果无解
    printf("无解\n");
    }
    return 0;
}
```

### 递推算法思想

递推算法是非常常用的算法思想，在数学计算等场合有着广泛的应用。递推算法适合有明显公式规律的场合。

#### 基本算法思想

递推算法是一种理性思维模式的代表，根据已有的数据和关系，逐步推导而得到结果。递推算法的执行过程如下：
(1) 根据已知结果和关系，求解中间结果。
(2)判定是否达到要求，如果没有达到，则继续根据已知结果和关系求解中间结果。如果满足要求，则表示寻找到一个正确的答案。

【注意】递推算法需要用户知道答案和问题之间的逻辑关系。在许多数学问题中，都有明确的计算公式可以遵循，因此可以采用递推算法来实现。

#### 经典例子

斐波那契《算盘书》【兔子产仔问题】
如果一对两个月大的兔子以后每一个月都可以生一对小兔子，而一对新生的兔子出生两个月后才可以生小兔子。也就是说，1 月份出生，3 月份才可产仔。那么假定一年内没有产生兔子死亡事件,那 么 1 年后共有多少对兔子呢？

【规律分析】
第一个月：a(1)=1 对兔子；
第二个月：a(2)=1 对兔子；
第三个月：a(3)=1+1=2 对兔子；
第四个月：a(4)=1+2=3 对兔子；
第五个月：a(5)=2+3=5 对兔子；
……
第 n 个月：a(n)=a(n-1)+a(n-2)对兔子；

```
int Fibonacci(int n)
{
int tl,t2;
if (n==1||n==2)//第1、2个月都只有1对兔子
{
return 1;
}else{//采用递归
tl=Fibonacci(n-1);
t2=Fibonacci(n-2);
return tl+t2;//计算第n个月的兔子对数
}
}
int main()
{
   int n=12;
   printf("%d个月后兔子对数：%d\n",n,Fibonacci(n));
    return 0;
}
```

### 递归算法思想

递归算法是非常常用的算法思想。使用递归算法，往往可以简化代码编写，提高程序的可读性。但是，不合适的递归会导致程序的执行效率变低。

#### 基本算法思想

递归算法就是在程序中不断反复调用自身来达到求解问题的方法。这里的重点是调用自身，这就要求待求解的问题能够分解为相同问题的一个子问题。这样 ，通过多次递归调用，便可以完成求解。
递归调用是一个函数在它的函数体内调用它自身的函数调用方式，这种函数也称为“递归函数”。在递归函数中，主调函数又是被调函数。执行递归函数将反复调用其自身，每调用一次就进入新的一层。
函数的递归调用分两种情况：直接递归和间接递归。
• 直接递归：即在函数中调用函数本身。
• 间接递归：即间接地调用一个函数，如出如 func_a 调 用 func_b, func_b 又调用 func_a。间接递归用得不多。

【注意】编写递归函数时，必须使用 if 语句强制函数在未执行递归调用前返回。否则，在调用函数后，它永远不会返回，这是一个很容易犯的错误。

#### 经典例子

【阶乘】

```
n!=n(n-1)(n-2)……21
1
long fact(int n){
if(n<=1)return 1;
else
    return nfact(n-1);
}
int main()
{
   int n=11;
   printf("%d的阶乘是%d\n",n,fact(n));
    return 0;
}
```

### 分治算法思想

分治算法是一种化繁为简的算法思想。分治算法往往应用于计算步骤比较复杂的问题，通过将问题简化而逐步得到结果。

#### 基本算法思想

分治算法的基本思想是将一个计算复杂的问题分为规模较小，计算简单的小问题求解，然后综合各个小问题，得到最终问题的答案。分治算法的执行过程如下：
(1)对于一个规模为 N 的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模>^较小），则直接解决,否则执行下面的步骤。
(2)将该问题分解为” 个规模较小的子问题，这些子问题互相独立，并且原问题形式相同。
(3)递归地解子问题。
(4)然后，将各子问题的解合并得到原问题的解。

【注意】使用分治算法需要待求解问题能够化简为若干个小规模的相同问题，通过逐步划分，达到一个易于求解的阶段而直接进行求解。然后，程序中可以使用递归算法来进行求解。

#### 经典例子

【寻找假币问题】
一个袋子里有 30 个硬币，其中一枚是假币，并且假币和真币一模- 样，肉眼很难分辨，目前只知道假币比真币重量轻一点。请问如何区分出假币？

```
int falseCoin(int coin[],int low,int high){
int i,sum1,sum2,sum3;
int re;
sum1=sum2=sum3=0;
//若只有两个硬币
if(low+1==high){
    if(coin[low]<coin[high]){//第一个硬币是假币
    re=low+1;
    return re;
}else{//第二个硬币是假币
re=high+1;
return re;
}
}
//硬币个数大于2
if((high-low+1)%2==0){//偶数个硬币
    for(i=low;i<=low+(high-low)/2;i++){//前半段重量
        sum1=sum1+coin[i];
    }
    for(i=low+(high-low)/2+1;i<=high;i++){//后半段重量
      sum2=sum2+coin[i];
    }
    if(sum1>sum2){//后半段轻，假币在后半段
        re=falseCoin(coin,low+(high-low)/2+1,high);
    return re;
    }else if(sum1<sum2){//前半段轻，假币在前半段
     re=falseCoin(coin,low,low+(high-low)/2);
    return re;
    }
}else{//奇数个硬币
for(i=low;i<=low+(high-low)/2-1;i++){//前半段重量
        sum1=sum1+coin[i];
    }
    for(i=low+(high-low)/2+1;i<=high;i++){//后半段重量
      sum2=sum2+coin[i];
    }
    sum3=coin[low+(high-low)/2];
    if(sum1>sum2){//后半段轻，假币在后半段
        re=falseCoin(coin,low+(high-low)/2+1,high);
    return re;
    }else if(sum1<sum2){//前半段轻，假币在前半段
     re=falseCoin(coin,low,low+(high-low)/2-1);
    return re;
    }
    if(sum1+sum3==sum2+sum3){//前半段+中间硬币和后半段+中间硬币重量相等，说明中间硬币是假币
        re=low+(high-low)/2+1;
        return  re;
    }

}
}
int main()
{
   int n=11,i;
   int a[n];
   for(i=0;i<n;i++){
    a[i]=2;
   }
   a[7]=1;//设置第八个为假币
  printf("假币是第%d个\n", falseCoin(a,0,n-1));
    return 0;
}
```

### 概率算法思想

概率算法依照概率统计的思路来求解问题，往往不能得到问题的精确解，但却在数值计算领域得到了广泛的应用。因为很多数学问题，往往没有或者很难计算解析解，这时便需要通过数值计算来求解近似值。

#### 基本算法思想

概率算法执行的基本过程如下：
(1)将问题转化为相应的几何图形 S, S 的面积是容易计算的，问题的结果往往对应几何图形中某一部分 S1 的面积。
(2)然后，向几何图形中随机撒点。
(3)统计几何图形 S 和 S1 中的点数。根 据 S 的面积和 S1 面积的关系以及各图形中的点数来计算得到结果。
(4) 判断上述结果是否在需要的精度之内，如果未达到精度则执行步骤(2)。如果达到精度,则输出近似结果。
概率算法大致分为如下 4 种形式。

• 数值概率算法。
• 蒙 特 卡 罗 （MonteCarlo)算法。
• 拉 斯 维 加 斯 （Las Vegas)算法。
• 舍 伍 德 （Sherwood)算法。

#### 经典例子

【蒙特卡罗 PI 概率算法问题】
在边长为 1 的正方形内，以 1 为半径画一个 1/4 圆。落入院内的概率为 PI/4？
算法思想：在某面积范围内撒点足够多，落在固定区域的点的概率就会将近结果。
关键：均匀撒点、区域判断

```
double MontePI(int n){
double PI;
double x,y;
int i,sum;
sum=0;
srand(time(NULL));
for(i=1;i<n;i++){
    x=(double)rand()/RAND_MAX;//在0-1之间产生一个随机数x
     y=(double)rand()/RAND_MAX;//在0-1之间产生一个随机数y
    if((xx+yy)<=1){//判断点是否在圆内
        sum++;//计数
    }
}
    PI=4.0*sum/n;//计算PI
    return PI;
}

int main()
{
   int n=500000;
   double PI;

  printf("蒙特卡罗概率PI=%f\n", MontePI(n));
    return 0;
}
```