# 算法中的数学
初衷是整理出在编程中经常用到的数学知识，并没有找到相关的一本书，《程序员的数学》内容太简单，《数学之美》内容不错，只是侧重于大的算法和领域。算法导论是在读的一本书，里面还是涉及到一高等数学知识的，就从这本书开始整理。
# 求和
来源 --《算法导论》附录 A
+在分析算法的运行时间时，特别地，算法中包含 while 或 for 循环时，需要进行累加计算，形如：
# 求和
# 等差级数
数列求和是高中数学内容之一，先从最简单的等差数列开始复习：
其值为
大家应该还记得小高斯快速计算 1 + 2 + 3 + ... + 100 的故事，上面公式不难理解和推导。
+或许多多少少对这几个概念还有印象：
+公差：d
+首项：
+第 n 项：
+前 n 项和：
+通项公式：
不过这儿我们只关注数列和，即级数
# 平方和与立方和
平方和与立方和求和公式如下：
上面的两个公式用数学归纳法不难证明。我们也可以自己推导，以平方和为例：
+可以利用恒等式
对右侧累加求和，有
同样的方法，我们可以推导出立方和公式，这儿留给你自己推导。
+我们再回过头来看下奇数列：
可以用等式
# 几何级数
对于
两步同乘以 x 有 +
当和是无限的并且|x|<1时，有无限递减几何级数 +
温习完等等差级数和几何级数，做两道题练习一下
A.1-4 证明
A.1-8 计算 $\prod_{k = 2}^n(1 - 1/k^2) 提示：无需转化为求和
# 调和级数
调和级数是一个发散的无穷级数，第 n 个调和数是
# 确定求和时间的界
在分析算法运行时间时，通常我们并不需要给出一个准确值，只需要描述出级数的界。比如，平方和级数
# 积分求和确定上下界
假定级数为
如下图所示，矩形总面积代表级数的值，曲线下方面积代表积分近似值，不难理解上述不等式。
如果
对于调和级数，我们由
# 应用
# 建堆复杂度分析
BUILD-MAX-HEAP(A)
+ A.heap.size = A.length
+ for i = [A.length/2] downto 1
+ MAX-HEAPIFY(A, i)
+已知每次调用 MAX-HEAPIFY 的时间复杂度是 O(lgn)，所以初步给出建堆的时间复杂度为 O(nlgn)，不过这个上界不是渐近紧确的。 +可以观察到，叶子节点调用 MAX-HEAPIFY 次数最多，一直到根节点调用次数呈指数级收敛，而 MAX-HEAPIFY 运行时间只与高度有关。在一个高度为 h 的节点上运行 MAX-HEAPIFY 的代价是 O(h), 我们可以将 BUILD-MAX-HEAP 的总代价表示为
根据我们刚刚温习的知识，我们可以推导出
# 雇用两次的概率 （出自 5.2-2）
首先介绍下 HIRE-ASSISTANT 程序：面试 n 个候选人，如果当前候选人是目前最优秀的，就雇用它。
+现在假设应聘者以随机顺序出现，正好雇用两次的概率是多少？
为简单分析起见，我们假定n 个不同的数从 1 到 n，按数目大小比较是否优秀。以随机顺序出现，所有的排列有 n! 种情况。 +先来说说正好雇用一次的概率，也就是 n 个数中第一个就是最大的，概率是 1 / n 。刚好雇用 n 次的概率，也就是刚好按递增顺序排列，概率是 1 / n! +考虑到第一个和最优秀的总会被雇用，最优秀候选人在每个位置的概率相等均为 1 / n，假定最优秀的候选人所在位置为 k，那第一个应该是前 (k - 1) 个候选人中最优秀的，概率为 1/(k - 1)。
所以我们要求的概率为 +
现在看到这个求和是不是倍感亲切 😄
# 开方寻址散列成功查找探查期望次数 (定理 11.8)
对于一个装载因子为
简单说下证明过程。一点概率知识：一个实验成功的概率为 p，那获得一次成功所需的实验次数的期望是
# 总结
在算法分析中实际用到的并不多，不过这些级数本身就很有意思。
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