最終更新日時: 2025年07月08日 00時32分46秒 (JST)
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function
<cmath>

# std::comp_ellint_1(C++17)

    namespace std {
      double
        comp_ellint_1(double k);              // (1) C++17
      floating-point-type
        comp_ellint_1(floating-point-type k); // (1) C++23

      Promoted
        comp_ellint_1(Arithmetic k);          // (2) C++17

      float
        comp_ellint_1f(float k);              // (3) C++17

      long double
        comp_ellint_1l(long double k);        // (4) C++17
    }

## 概要

第1種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the first kind) を計算する。

- (1) :
  - C++17 : `double`に対するオーバーロード
  - C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
- (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
- (3) : `float`型規定
- (4) : `long double`型規定

## 戻り値

引数 `k` の第1種完全楕円積分 $$ K(k) = F(k, \pi/2) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}} \quad \text{for } |k| \le 1 $$ を返す。 $ F(k, \phi) $ は第1種不完全楕円積分 (`ellint_1`)。

## 備考

- (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

## 例

    #include <cmath>
    #include <iostream>

    int main() {
      std::cout << "comp_ellint_1(0)   = " << std::comp_ellint_1(0) << "\n";    // π / 2
      std::cout << "comp_ellint_1(0.5) = " << std::comp_ellint_1(0.5) << "\n";  // 1.68575
      std::cout << "comp_ellint_1(1)   = " << std::comp_ellint_1(1) << "\n";    // ∞
    }

### 出力例

    comp_ellint_1(0)   = 1.5708
    comp_ellint_1(0.5) = 1.68575
    comp_ellint_1(1)   = nan

## 単振り子の周期と等時性の破れ

単振り子の周期$ T $は、第1種完全楕円積分$ K $を用いて、$ T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K(\sin(\frac{\theta}{2})) $と書ける（$ l $は長さ、$ g $は重力加速度、$\theta$ は最大振れ幅の角度）。$ l = 1 [m]$の時の周期 $ T [s]$と、近似値$ T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$との比$T/T_0$を計算する例。

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include <iomanip>

    constexpr double pi = 3.141592653589793;
    constexpr double g = 9.80665;

    double pendulum_period(double l, double theta) {
      return 4.0 * std::sqrt(l/g) * std::comp_ellint_1(std::sin(theta/2.0));
    }

    double pendulum_period_shift(double theta) {
      return (2.0 * std::comp_ellint_1(std::sin(theta/2.0))) / pi;
    }

    int main() {
      std::cout << std::setprecision(16);

      for (const auto theta : {15.0, 30.0, 45.0, 60.0}) {
        const auto angle = theta * pi / 180.0;
        std::cout << theta << " [°] : ";
        std::cout << "T = " << pendulum_period(1.0, angle) << " [s], T/T0 = ";
        std::cout << pendulum_period_shift(angle) << '\n';
      }
    }

### 出力例

    15 [°] : T = 2.015038014606197 [s], T/T0 = 1.004300579173466
    30 [°] : T = 2.041338465858369 [s], T/T0 = 1.017408797595956
    45 [°] : T = 2.08661217983496 [s], T/T0 = 1.039973343196804
    60 [°] : T = 2.153242351783843 [s], T/T0 = 1.073182007149365

## バージョン

### 言語

- C++17

### 処理系

- Clang: ??
- GCC: 7.1.0 ✅
- ICC: ??
- Visual C++: ??

### 備考

#### GCC (libstdc++)

GCC 7.1.0–8.0.0 では定義域エラーが発生したときに `std::numeric_limits::quiet_NaN` を返す。

## 実装例

### 級数

$$ K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right]^2 k^{2n} $$

## 関連項目

- 第2種完全楕円積分 `comp_ellint_2`
- 第3種完全楕円積分 `comp_ellint_3`
- 第1種不完全楕円積分 `ellint_1`

## 参照

- N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
- WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
- ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
- 振り子 - Wikipedia
- P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  - C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、`float`、`double`、`long double`のオーバーロードを`floating-point-type`のオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした