最終更新日時: 2024年06月11日 22時45分38秒 (JST)
Akira Takahashi が更新

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function
<cmath>

# std::cyl_bessel_k(C++17)

    namespace std {
      double
        cyl_bessel_k(double nu,
                     double x);              // (1) C++17
      floating-point-type
        cyl_bessel_k(floating-point-type nu,
                     floating-point-type x); // (1) C++23

      Promoted
        cyl_bessel_k(Arithmetic1 nu,
                     Arithmetic2 x);         // (2) C++17

      float
        cyl_bessel_kf(float nu,
                      float x);              // (3) C++17

      long double
        cyl_bessel_kl(long double nu,
                      long double x);        // (4) C++17
    }

## 概要

第2種変形ベッセル関数 (modified Bessel functions of the second kind) を求める。

- (1) :
  - C++17 : `double`に対するオーバーロード
  - C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
- (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する大きい方の精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
- (3) : `float`型規定
- (4) : `long double`型規定

## 戻り値

引数 `nu`, `x` の第2種変形ベッセル関数 $$ K_\nu(x) = \frac{\pi}{2} i^{\nu + 1} \left( J_\nu(ix) + i N_\nu(ix) \right) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(x) - I_{\nu}(x)}{\sin \nu \pi} \quad \text{for } x \ge 0 $$ を返す。 $I$, $J$, $N$ はそれぞれ 第1種変形ベッセル関数 (`cyl_bessel_i`)、 第1種ベッセル関数 (`cyl_bessel_j`)、 第2種ベッセル関数 (`cyl_neumann`) である。

## 備考

- `nu >= 128` の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
- (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

## 例

    #include <cmath>
    #include <iostream>

    void p(double nu) {
      for (double x : {0., 1., 2.})
        std::cout << "cyl_bessel_k(" << nu << ", " << x << ") = " << std::cyl_bessel_k(nu, x) << "\n";
      std::cout << "\n";
    }

    int main() {
      p(0.0);
      p(0.5); // cyl_bessel_k(1/2, x) = sqrt(π / 2x) * exp(-x)
      p(1.0);
    }

### 出力例

    cyl_bessel_k(0, 0) = inf
    cyl_bessel_k(0, 1) = 0.421024
    cyl_bessel_k(0, 2) = 0.113894

    cyl_bessel_k(0.5, 0) = inf
    cyl_bessel_k(0.5, 1) = 0.461069
    cyl_bessel_k(0.5, 2) = 0.119938

    cyl_bessel_k(1, 0) = inf
    cyl_bessel_k(1, 1) = 0.601907
    cyl_bessel_k(1, 2) = 0.139866

## バージョン

### 言語

- C++17

### 処理系

- Clang: ??
- GCC: 7.1.0 ✅
- ICC: ??
- Visual C++: ??

### 備考

#### GCC (libstdc++)

GCC 7.1.0–8.0.0 では `nu < 0` のときに `std::domain_error` を送出する。

## 関連項目

- 第1種変形ベッセル関数 `cyl_bessel_i`
- 第1種ベッセル関数 `cyl_bessel_j`
- 第2種ベッセル関数 `cyl_neumann`

## 参照

- N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
- WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
- ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
- P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  - C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、`float`、`double`、`long double`のオーバーロードを`floating-point-type`のオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした