最終更新日時: 2024年06月11日 22時45分38秒 (JST)
Akira Takahashi が更新

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function
<cmath>

# std::laguerre(C++17)

    namespace std {
      double
        laguerre(unsigned int n,
                 double x);              // (1) C++17
      floating-point-type
        laguerre(unsigned int n,
                 floating-point-type x); // (1) C++23

      Promoted
        laguerre(unsigned int n,
                 Arithmetic x);          // (2) C++17

      float
        laguerref(unsigned int n,
                  float x);              // (3) C++17

      long double
        laguerrel(unsigned int n,
                  long double x);        // (4) C++17
    }

## 概要

ラゲール多項式 (Laguerre polynomials) を求める。

- (1) :
  - C++17 : `double`に対するオーバーロード
  - C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
- (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
- (3) : `float`型規定
- (4) : `long double`型規定

## 戻り値

引数 `n`, `x` のラゲール多項式 $$ L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (x^n e^{-x}) \quad \text{for } x \ge 0 $$ を返す。

## 備考

- `n >= 128` の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
- (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

## 例

    #include <cmath>
    #include <iostream>

    void p(unsigned n) {
      for (double x : {0., 1., 2.})
        std::cout << "laguerre(" << n << ", " << x << ") = " << std::laguerre(n, x) << "\n";
      std::cout << "\n";
    }

    int main() {
      p(0); // L0(x) = 1
      p(1); // L1(x) = -x + 1
      p(2); // L2(x) = (x^2 - 4x + 2) / 2
      p(3); // L3(x) = (-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) / 6
    }

### 出力例

    laguerre(0, 0) = 1
    laguerre(0, 1) = 1
    laguerre(0, 2) = 1

    laguerre(1, 0) = 1
    laguerre(1, 1) = 0
    laguerre(1, 2) = -1

    laguerre(2, 0) = 1
    laguerre(2, 1) = -0.5
    laguerre(2, 2) = -1

    laguerre(3, 0) = 1
    laguerre(3, 1) = -0.666667
    laguerre(3, 2) = -0.333333

## バージョン

### 言語

- C++17

### 処理系

- Clang: ??
- GCC: 7.1.0 ✅
- ICC: ??
- Visual C++: ??

## 実装例

### 閉形式

$$ L_n(x) = \sum_{j=0}^n \frac{n!}{j! (n-j)!} \frac{(-x)^j}{j!} $$

### 漸化式

$$ L_{n}(x) = \frac{(2n - 1 - x) L_{n-1}(x) - (n-1) L_{n-2}(x)}{n}; L_0(x) = 1, L_1(x) = -x + 1 $$

## 関連項目

- ラゲール陪多項式 `assoc_laguerre`

## 参照

- N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
- WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
- ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
- P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  - C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、`float`、`double`、`long double`のオーバーロードを`floating-point-type`のオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした