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数据结构 - 树

树的概念

在计算机科学中,(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实现这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由 n(n>0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

它具有以下的特点:

  • 每个节点都只有有限个子节点或无子节点。
  • 树有且仅有一个根节点。
  • 根节点没有父节点;非根节点有且仅有一个父节点。
  • 每个非根节点可以分为多个不相交的子树。
  • 树里面没有环路。

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树的术语

  • 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
  • 树的度:一棵树中,最大的节点度称为树的度;
  • 叶子节点终端节点:度为零的节点;
  • 非终端节点分支节点:度不为零的节点;
  • 父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
  • 子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
  • 节点的层次:从根开始定义起,根为第 1 层,根的子节点为第 2 层,以此类推;
  • 深度:对于任意节点 n,n 的深度为从根到 n 的唯一路径长,根的深度为 0;
  • 高度:对于任意节点 n,n 的高度为从 n 到一片树叶的最长路径长,所有树叶的高度为 0;
  • 堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
  • 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
  • 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
  • 森林:由 m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;

树的性质

  • 树中的节点数等于所有节点的度数加 1。
  • 度为 m 的树中第 i 层上至多有 $$m^{i-1}$$ 个节点($$i ≥ 1$$)。
  • 高度为 h 的 m 次树至多有 $$(m^h-1)/(m-1)$$ 个节点。
  • 具有 n 个节点的 m 次树的最小高度为 $$\log_m{(n(m-1)+1)}$$

树的种类

  • 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树

  • 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;

    • 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;

      • 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为 d(d>1)。除了第 d 层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第 d 层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树;

        • 满二叉树:所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
      • 平衡二叉树AVL 树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于 1 的二叉树;

      • 排序二叉树(二叉查找树(英语:Binary Search Tree)):也称二叉搜索树、有序二叉树;

    • 霍夫曼树带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;

    • B 树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树,能够保持数据有序,拥有多于两个子树。

参考资料