33<!-- TOC depthFrom:2 depthTo:3 -->
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55- [ 1. 什么是跳表] ( #1-什么是跳表 )
6- - [ 1.1. 高效的动态插入和删除] ( #11-高效的动态插入和删除 )
7- - [ 1.2. 跳表索引动态更新] ( #12-跳表索引动态更新 )
8- - [ 2. 为什么需要跳表] ( #2-为什么需要跳表 )
9- - [ 3. 跳表的应用场景] ( #3-跳表的应用场景 )
10- - [ 4. 参考资料] ( #4-参考资料 )
6+ - [ 1.1. 跳表的时间复杂度] ( #11-跳表的时间复杂度 )
7+ - [ 1.2. 跳表的空间复杂度] ( #12-跳表的空间复杂度 )
8+ - [ 2. 跳表的操作] ( #2-跳表的操作 )
9+ - [ 2.1. 高效的动态插入和删除] ( #21-高效的动态插入和删除 )
10+ - [ 2.2. 跳表索引动态更新] ( #22-跳表索引动态更新 )
11+ - [ 3. 为什么需要跳表] ( #3-为什么需要跳表 )
12+ - [ 4. 跳表的应用场景] ( #4-跳表的应用场景 )
13+ - [ 5. 参考资料] ( #5-参考资料 )
1114
1215<!-- /TOC -->
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1417## 1. 什么是跳表
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16- 只需要对链表稍加改造，就可以支持类似“二分”的查找算法。我们把改造之后的数据结构叫作 ** 跳表 ** （Skip list） 。
19+ 对于一个有序数组，可以使用高效的二分查找法，其时间复杂度为 ` O(log n) ` 。
1720
18- 跳表是一种各方面性能都比较优秀的** 动态数据结构** ，可以支持快速的插入、删除、查找操作，写起来也不复杂，甚至可以替代[ 红黑树] ( https://zh.wikipedia.org/wiki/红黑树 ) （Red-black tree）。
21+ 但是，即使是有序的链表，也只能使用低效的顺序查找，其时间复杂度为 ` O(n) ` 。
22+
23+ ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220323113532.png )
24+
25+ 如何提高链表的查找效率呢？
26+
27+ 我们可以对链表加一层索引。具体来说，可以每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作** 索引** 或** 索引层** 。索引节点中通过一个 down 指针，指向下一级结点。通过这样的改造，就可以支持类似二分查找的算法。我们把改造之后的数据结构叫作** 跳表** （Skip list）。
28+
29+ ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220323155309.png )
30+
31+ 随着数据的不断增长，一级索引层也变得越来越长。此时，我们可以为一级索引再增加一层索引层：二级索引层。
32+
33+ ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220323155346.png )
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20- 由于链表只支持顺序查找，所以其查找效率较低，时间复杂度是 ` O(n) ` 。
35+ 随着数据的膨胀，当二级索引层也变得很长时，我们可以继续为其添加新的索引层。 ** 这种链表加多级索引的结构，就是跳表 ** 。
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22- ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220310101420.jpg )
37+ ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220323114408.png )
2338
24- 跳表查询有多快？
39+ ### 1.1. 跳表的时间复杂度
2540
26- 在一个具有多级索引的跳表中，第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 ` k-1 ` 级索引的结点个数的 ` 1/2 ` ，那第 k 级索引结点的个数就是 ` n/(2k) ` 。
41+ 在一个具有多级索引的跳表中，第一级索引的结点个数大约就是 ` n/2 ` ，第二级索引的结点个数大约就是 ` n/4 ` ，第三级索引的结点个数大约就是 ` n/8 ` ，依次类推，也就是说，第 ` k ` 级索引的结点个数是第 ` k-1 ` 级索引的结点个数的 ` 1/2 ` ，那第 k 级索引结点的个数就是 ` n/(2k) ` 。所以 ** 跳表查询数据的时间复杂度就是 ` O(logn) ` ** 。
2742
28- 所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 ` O(logn) ` 。
43+ ### 1.2. 跳表的空间复杂度
2944
30- ![ img ] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220310102943.jpg )
45+ 比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。
3146
32- ![ img ] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220310103133.jpg )
47+ 假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。
3348
34- ** 这种链表加多级索引的结构，就是跳表** 。
49+ ```
50+ 索引节点数 = n/2 + n/4 + n/8 … + 8 + 4 + 2 = n-2
51+ ```
3552
36- ### 1.1. 高效的动态插入和删除
53+ 所以，跳表的空间复杂度是 ` O(n) ` 。
54+
55+ 跳表的存储空间其实还有压缩空间。比如，我们增加索引节点的范围，由『每两个节点抽一个上级索引节点』改为『每五个节点抽一个上级索引节点』，可以显著节省存储空间。
56+
57+ 实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。
58+
59+ ## 2. 跳表的操作
60+
61+ 跳表是一种各方面性能都比较优秀的** 动态数据结构** ，可以支持快速的插入、删除、查找操作，写起来也不复杂，甚至可以替代[ 红黑树] ( https://zh.wikipedia.org/wiki/红黑树 ) （Red-black tree）。
62+
63+ ### 2.1. 高效的动态插入和删除
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3865跳表不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 ` O(logn) ` 。
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40- ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220310104105.jpg )
67+ ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220323155933.png )
4168
42- - ** 插入操作** ：对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn) ，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn) 。
69+ - ** 插入操作** ：对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 ` O(log n) ` ，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 ` O(log n) ` 。
4370- ** 删除操作** ：如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。
4471
45- ### 1 .2. 跳表索引动态更新
72+ ### 2 .2. 跳表索引动态更新
4673
4774当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。
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49- ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220310104519.jpg )
76+ ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220323161942.png )
5077
5178如红黑树、AVL 树这样的平衡二叉树，是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。
5279
5380当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢？可以通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。
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55- ![ img] ( https://raw.githubusercontent.com/dunwu/images/dev/snap/20220310104646.jpg )
56-
57- ## 2. 为什么需要跳表
82+ ## 3. 为什么需要跳表
5883
5984跳表是一种动态数据结构，支持快速的插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 ` O(logn) ` 。
6085
6186跳表的空间复杂度是 ` O(n) ` 。不过，跳表的实现非常灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现并不简单，但是作为一种动态数据结构，比起红黑树来说，实现要简单多了。所以很多时候，我们为了代码的简单、易读，比起红黑树，我们更倾向用跳表。
6287
63- ## 3 . 跳表的应用场景
88+ ## 4 . 跳表的应用场景
6489
6590经典实现：Redis 的 Sorted Set、JDK 的 ` ConcurrentSkipListMap ` 和 ` ConcurrentSkipListSet ` 都是基于跳表实现。
6691
@@ -76,6 +101,6 @@ Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个：
76101
77102其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。
78103
79- ## 4 . 参考资料
104+ ## 5 . 参考资料
80105
81106- [ 数据结构与算法之美] ( https://time.geekbang.org/column/intro/100017301 )
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