// 步骤一、定义数组元素的含义

// 由于我们的目的是从左上角到右下角一共有多少种路径，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，一共有 dp[i] [j] 种路径。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。

// 注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 右下角的位置是 (m-1, n - 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要找的答案。

// 步骤二：找出关系数组元素间的关系式

// 想象以下，机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达

// 一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达

// 一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达

// 因为是计算所有可能的步骤，所以是把所有可能走的路径都加起来，所以关系式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]。

// 步骤三、找出初始值

// 显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的，相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下：

// dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往左走

// dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走

// 撸代码

// 三个步骤都写出来了，直接看代码

//time:O(m*n)

//space:O(m*n)

public static int uniquePaths(int m, int n) {

if (m <= 0 || n <= 0) {

return 0;

}

int[][] dp = new int[m][n]; //

// 初始化

for(int i = 0; i < m; i++){

dp[i][0] = 1;

}

for(int i = 0; i < n; i++){

dp[0][i] = 1;

}

// 推导出 dp[m-1][n-1]

for (int i = 1; i < m; i++) {

for (int j = 1; j < n; j++) {

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];

}

}

return dp[m-1][n-1];

}

// O(n*m) 的空间复杂度可以优化成 O(min(n, m)) 的空间复杂度的，不过这里先不讲